概率论与数理统计 · 公式手册

第一章 概率论的基本概念

一、主要内容

二、重要公式与概念

1. 事件的关系与运算

包含关系：A ⊂ B

相等关系：A = B

和事件：A ∪ B（A + B）

积事件：A ∩ B（AB）

差事件：A - B

互不相容（互斥）：AB = ∅

对立事件（逆事件）：A ∪ B = S, AB = ∅

2. 概率的基本性质

非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1

规范性：P(S) = 1

可列可加性：若A₁, A₂, ... 两两互不相容，则 P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)

P(∅) = 0

有限可加性

减法公式：P(A - B) = P(A) - P(AB)

加法公式：P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(AB)

3. 古典概型

P(A) = A包含的基本事件数 / S中基本事件的总数

4. 条件概率与乘法公式

条件概率：P(B|A) = P(AB) / P(A) （P(A) > 0）

乘法公式：P(AB) = P(A)P(B|A)

5. 全概率公式与贝叶斯公式

全概率公式：P(A) = ΣP(Bᵢ)P(A|Bᵢ)

贝叶斯公式：P(Bᵢ|A) = P(Bᵢ)P(A|Bᵢ) / ΣP(Bⱼ)P(A|Bⱼ)

6. 事件的独立性

定义：P(AB) = P(A)P(B)，则称A、B相互独立

性质：若A、B独立，则A与B̄、Ā与B、Ā与B̄也独立

第二章 随机变量

一、主要内容

二、重要概念

1. 随机变量的分布函数

定义：F(x) = P{X ≤ x}, -∞ < x < +∞

性质：

(1) 单调不减性

(2) 0 ≤ F(x) ≤ 1

(3) 右连续性

(4) F(-∞) = 0, F(+∞) = 1

2. 离散型随机变量

分布律：P{X = xₖ} = pₖ, k = 1, 2, ...

性质：pₖ ≥ 0, Σpₖ = 1

3. 连续型随机变量

概率密度f(x)满足：

F(x) = ∫(-∞,x) f(t)dt

性质：

(1) f(x) ≥ 0

(2) ∫(-∞,+∞) f(x)dx = 1

(3) P{x₁ < X ≤ x₂} = F(x₂) - F(x₁) = ∫(x₁,x₂) f(x)dx

(4) 若f(x)在x处连续，则F'(x) = f(x)

4. 随机变量的函数的分布

离散型：直接计算Y=g(X)的取值及对应概率

连续型：分布函数法（先求F_Y(y)，再求导得f_Y(y)）

第三章 随机向量

一、主要内容

二、重要概念与公式

1. 二维随机变量的分布函数

定义：F(x,y) = P{X ≤ x, Y ≤ y}

性质：单调不减、右连续、0 ≤ F(x,y) ≤ 1等

2. 二维离散型随机变量

联合分布律：P{X = xᵢ, Y = yⱼ} = pᵢⱼ

边缘分布律：

pᵢ· = P{X = xᵢ} = Σⱼ pᵢⱼ

p·ⱼ = P{Y = yⱼ} = Σᵢ pᵢⱼ

条件分布律：

P{X = xᵢ | Y = yⱼ} = pᵢⱼ / p·ⱼ

3. 二维连续型随机变量

联合概率密度f(x,y)满足：

F(x,y) = ∫(-∞,x)∫(-∞,y) f(u,v)dudv

边缘概率密度：

f_X(x) = ∫(-∞,+∞) f(x,y)dy

f_Y(y) = ∫(-∞,+∞) f(x,y)dx

条件概率密度：

f_{X|Y}(x|y) = f(x,y) / f_Y(y)

4. 随机变量的独立性

定义：F(x,y) = F_X(x)F_Y(y) 对所有x,y成立

离散型：pᵢⱼ = pᵢ· · p·ⱼ

连续型：f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)

5. 二维随机变量函数的分布

Z = X + Y的分布（卷积公式）：

f_Z(z) = ∫(-∞,+∞) f(x, z-x)dx

M = max(X,Y)的分布：

F_M(z) = F_X(z)F_Y(z) （独立时）

N = min(X,Y)的分布：

F_N(z) = 1 - [1 - F_X(z)][1 - F_Y(z)] （独立时）

第四章 随机变量的数字特征

一、主要内容

二、重要公式与性质

1. 数学期望

离散型：E(X) = Σxₖpₖ

连续型：E(X) = ∫(-∞,+∞) x f(x)dx

性质：

(1) E(C) = C

(2) E(CX) = C E(X)

(3) E(X + Y) = E(X) + E(Y)

(4) 若X、Y独立，则E(XY) = E(X)E(Y)

随机变量函数的期望：

E[g(X)] = Σg(xₖ)pₖ （离散型）

E[g(X)] = ∫(-∞,+∞) g(x)f(x)dx （连续型）

2. 方差

定义：D(X) = E{[X - E(X)]²} = E(X²) - [E(X)]²

性质：

(1) D(C) = 0

(2) D(CX) = C² D(X)

(3) D(X + Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)

(4) 若X、Y独立，则D(X + Y) = D(X) + D(Y)

标准差（均方差）：σ(X) = √D(X)

3. 协方差与相关系数

协方差：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)

相关系数：ρ_XY = Cov(X,Y) / (√D(X)√D(Y))

性质：

(1) |ρ_XY| ≤ 1

(2) |ρ_XY| = 1 ⇔ P{Y = aX + b} = 1

(3) 若X、Y独立，则ρ_XY = 0（不相关）

注意：不相关不一定独立

附录：常用分布汇总表

考试题型与考点分布

一、客观题（共计占比40%）

1. 选择题（5题）

(1) 常用分布 —— 中等难度

(2) 分布函数 —— 较易

(3) 随机变量函数的分布 —— 较难

(4) 期望的性质 —— 中等

(5) 方差的性质 —— 中等

2. 填空题（5题）

(1) 事件间的关系与运算 —— 中等

(2) 分布函数 —— 较易

(3) 常用分布的分布律、概率密度 —— 较易

(4) 随机变量函数的分布 —— 较难

(5) 协方差 —— 较易

3. 判断题（5题）

(1) 事件间的关系 —— 较易

(2) 随机实验 —— 中等

(3) 相关系数 —— 较易

(4) 协方差 —— 中等

(5) （待补充）

二、简答与计算题（共4题，共30分）

1. 离散型随机变量 —— 较易

2. 连续型随机变量 —— 中等

3. 二维离散型随机向量 —— 较易

4. 二维连续型随机向量 —— 较难

三、综合应用题（共3题，共30分）

1. 常用分布及其性质

2. 全概率公式、贝叶斯公式

3. 二维随机变量函数的极值分布（嵌套的常用分布）

典型例题

例题1：离散型随机变量（分布函数求分布律）

【题目】随机变量X的分布函数为：

F(x) = 0, x < -1

= 0.4, -1 ≤ x < 1

= 0.8, 1 ≤ x < 3

= 1, x ≥ 3

求：(1) X的分布律；(2) D(1-X)

【解答】

(1) X的可能取值为分布函数的跳跃点：-1, 1, 3

P{X = -1} = F(-1) - F(-1⁻) = 0.4 - 0 = 0.4

P{X = 1} = F(1) - F(1⁻) = 0.8 - 0.4 = 0.4

P{X = 3} = F(3) - F(3⁻) = 1 - 0.8 = 0.2

分布律：

X | -1 | 1 | 3

P | 0.4 | 0.4 | 0.2

(2) E(X) = (-1)×0.4 + 1×0.4 + 3×0.2 = -0.4 + 0.4 + 0.6 = 0.6

E(X²) = (-1)²×0.4 + 1²×0.4 + 3²×0.2 = 0.4 + 0.4 + 1.8 = 2.6

D(X) = E(X²) - [E(X)]² = 2.6 - 0.36 = 2.24

D(1 - X) = D(X) = 2.24 （方差性质：D(aX+b) = a²D(X)）

例题2：连续型随机变量（分布函数求密度）

【题目】已知随机变量X的分布函数为：

F(x) = 0, x ≤ -6

= (x+6)/12, -6 < x < 6

= 1, x ≥ 6

求：(1) X的概率密度；(2) E(X)；(3) P{1 < X < 2.5}

【解答】

(1) 对F(x)求导得概率密度：

f(x) = F'(x) = 1/12, -6 < x < 6

f(x) = 0, 其他

(2) E(X) = ∫(-∞,+∞) x f(x) dx = ∫(-6,6) x/12 dx

= [x²/24]|(-6,6) = (36/24) - (36/24) = 0

（或直接由均匀分布的期望公式：E(X) = (a+b)/2 = (-6+6)/2 = 0）

(3) P{1 < X < 2.5} = F(2.5) - F(1) = (2.5+6)/12 - (1+6)/12

= 8.5/12 - 7/12 = 1.5/12 = 1/8 = 0.125

例题3：全概率公式与贝叶斯公式

【题目】小赵要去外地参加一次会议，他乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4。

如果乘火车、轮船、汽车，迟到的概率分别为1/4, 1/3, 1/12，而乘飞机则不会迟到。问：

(1) 小赵迟到的概率是多少？

(2) 如果他确实迟到了，那他是乘火车的概率是多少？

【解答】

设事件B = {迟到}，A₁ = {乘火车}，A₂ = {乘轮船}，A₃ = {乘汽车}，A₄ = {乘飞机}

则 A₁, A₂, A₃, A₄ 构成样本空间的一个划分。

已知：

P(A₁) = 0.3, P(A₂) = 0.2, P(A₃) = 0.1, P(A₄) = 0.4

P(B|A₁) = 1/4, P(B|A₂) = 1/3, P(B|A₃) = 1/12, P(B|A₄) = 0

(1) 由全概率公式：

P(B) = P(A₁)P(B|A₁) + P(A₂)P(B|A₂) + P(A₃)P(B|A₃) + P(A₄)P(B|A₄)

= 0.3×(1/4) + 0.2×(1/3) + 0.1×(1/12) + 0.4×0

= 0.075 + 0.0667 + 0.0083 + 0

= 0.15 = 3/20

(2) 由贝叶斯公式：

P(A₁|B) = P(A₁)P(B|A₁) / P(B)

= (0.3 × 1/4) / 0.15

= 0.075 / 0.15

= 0.5 = 1/2

例题4：指数分布及其无记忆性

【题目】假设在一个公共洗衣房内，每个人使用洗衣机的时间X（以分钟为单位）是随机的，

并且这个时间服从参数为1/10的指数分布，求解以下问题：

(1) 你走进洗衣房时，发现刚好有一个人在你之前开始使用洗衣机，那么你需要等待的时间超过10分钟的概率是多少？

(2) 假设你到达洗衣房时，第一位用户已经使用了20分钟，那么此时你需要等待的时间超过10分钟的概率是多少？

【解答】

X ~ Exp(λ = 1/10)

概率密度：f(x) = (1/10)e^(-x/10), x > 0

分布函数：F(x) = 1 - e^(-x/10), x > 0

(1) 等待时间超过10分钟的概率：

P{X > 10} = 1 - F(10) = 1 - (1 - e^(-10/10)) = e⁻¹ ≈ 0.3679

(2) 已知已经使用了20分钟，还需等待超过10分钟的概率：

由指数分布的无记忆性：P{X > s + t | X > s} = P{X > t}

P{X > 30 | X > 20} = P{X > 10} = e⁻¹ ≈ 0.3679

例题5：二维连续型随机变量（条件密度）

【题目】设(X,Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为：

f_X(x) = 3x², 0 < x < 1

= 0, 其他

在给定X = x (0 < x < 1)的条件下Y的条件概率密度为：

f_{Y|X}(y|x) = 2y/x², 0 < y < x

= 0, 其他

求：(1) (X,Y)的概率密度f(x,y)；(2) Y的边缘概率密度f_Y(y)

【解答】

(1) 由条件概率密度公式：f(x,y) = f_{Y|X}(y|x) · f_X(x)

当 0 < y < x < 1 时：

f(x,y) = (2y/x²) · 3x² = 6y/x

其他区域：f(x,y) = 0

(2) Y的边缘概率密度：

f_Y(y) = ∫(-∞,+∞) f(x,y) dx

当 0 < y < 1 时：

f_Y(y) = ∫(y,1) (6y/x) dx = 6y · [lnx]|(y,1) = 6y(0 - lny) = -6y lny

其他区域：f_Y(y) = 0

例题6：二维离散型随机变量（独立性）

【题目】X与Y是两相互独立的二维离散型随机向量，其联合分布律如下：

（表格略）求各未知参数的值。

【解答思路】

利用独立性条件：pᵢⱼ = pᵢ· × p·ⱼ

以及边缘分布的性质：Σpᵢ· = 1, Σp·ⱼ = 1

逐步求解各未知参数。

例题7：极值分布（嵌套的常用分布）

【题目】设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N(160, 20²)分布，

随机地选取4只，求其中没有一只寿命小于180h的概率。

【解答】

设这四只寿命为Xᵢ (i = 1, 2, 3, 4)，则 Xᵢ ~ N(160, 20²)，且相互独立。

令 N = min{X₁, X₂, X₃, X₄}

"没有一只寿命小于180h" 即 min{X₁,X₂,X₃,X₄} ≥ 180

等价于 X₁ ≥ 180, X₂ ≥ 180, X₃ ≥ 180, X₄ ≥ 180 同时成立

P{N ≥ 180} = P{X₁ ≥ 180, X₂ ≥ 180, X₃ ≥ 180, X₄ ≥ 180}

= [P{X₁ ≥ 180}]⁴ （独立性）

= [1 - F(180)]⁴

其中 F(x) 为 N(160, 20²) 的分布函数：

P{X₁ ≥ 180} = 1 - Φ((180 - 160)/20) = 1 - Φ(1) ≈ 1 - 0.8413 = 0.1587

因此 P{N ≥ 180} = (0.1587)⁴ ≈ 0.00063

例题8：均匀分布的极值分布

【题目】设X,Y相互独立，同服从(0,2)上的均匀分布，Z = min(X,Y)，

则 P{0 < Z < 1} = ?

【解答】

方法一：利用分布函数法

F_Z(z) = P{Z ≤ z} = P{min(X,Y) ≤ z}

= 1 - P{min(X,Y) > z}

= 1 - P{X > z, Y > z}

= 1 - P{X > z}P{Y > z} （独立性）

X,Y ~ U(0,2)，故 P{X > z} = (2 - z)/2, 0 < z < 2

F_Z(z) = 1 - [(2-z)/2]² = 1 - (2-z)²/4

f_Z(z) = F_Z'(z) = (2-z)/2, 0 < z < 2

P{0 < Z < 1} = ∫(0,1) (2-z)/2 dz = [z - z²/4]|(0,1) = 1 - 1/4 = 3/4

方法二：直接计算

P{0 < Z < 1} = P{Z > 0} - P{Z ≥ 1}

= P{min > 0} - P{min ≥ 1}

= P{X > 0, Y > 0} - P{X ≥ 1, Y ≥ 1}

= 1×1 - (1/2)×(1/2) = 1 - 1/4 = 3/4